RORO

ふつうの日記

1次元波動方程式の一般解をラプラス変換とフーリエ変換で求める

免責事項: 私は電磁気学も流体力学も微分方程式も学んだことはありません。デタラメです。

ラプラス変換とフーリエ変換だけでやってみる試みです。デタラメです。


1次元の波動方程式は次の通り:

$$\frac{\partial^2}{\partial^2 x} u(x, t) = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial^2 t} u(x, t)$$

初期条件は $u(x, 0) = g(x)$, $u’(x, 0) = h(x)$ とする。

$t$については因果的なので、$t$ についてラプラス変換すると:

$$\begin{aligned}\frac{\partial^2}{\partial^2 x} U(x, s) &= \frac{1}{c^2} \left( s^2 U(x, s) - s u(x, 0) - u’(x, 0)\right) \\ &= \frac{1}{c^2} \left( s^2 U(x, s) - s g(x) - h(x)\right) \\ \end{aligned}$$

さらに $x$ についてフーリエ変換すると:

$$\begin{aligned}(-j\omega)^2 U(\omega, s) &= \frac{1}{c^2} \left( s^2 U(\omega, s) - s G(\omega) - H(\omega)\right)\end{aligned}$$

これを整理すると:

$$\begin{aligned}U(\omega, s) &= \frac{1}{2c} \cdot \frac{2 (s / c)}{\omega^2 + (s / c)^2} G(\omega) + \frac{1}{2cs} \cdot \frac{2 (s / c)}{\omega^2 + (s / c)^2} H(\omega)\end{aligned}$$

これを逆フーリエ変換すると($\circledast$は畳み込みを表すこととする):

$$U(x, s) = \left[ \frac{1}{2c} e^{-(s/c)|x|} \circledast_x g(x) \right] + \left[ \frac{1}{2cs} e^{-(s/c)|x|} \circledast_x h(x) \right] $$

さらに逆ラプラス変換すると:

$$\begin{aligned} u(x, t) &= \frac{1}{2c} \delta(t - \frac{|x|}{c}) \circledast_x g(x) + \frac{1}{2c}\int^{t}_{0} \left( \delta(\tau - \frac{|x|}{c}) \circledast_x h(x) \right) d\tau \\ &= \frac{1}{2} \delta(ct - |x|) \circledast_x g(x) + \frac{1}{2} \int^{t}_{0} h(x - c\tau) + h(x + c\tau) d\tau \\ &= \frac{1}{2} \left( g(x - ct) + g(x + ct) \right) + \frac{1}{2c}\int^{x+ct}_{x-ct}h(\xi) d\xi \\ \end{aligned}$$

Wikipediaに載ってるダランベールの式と同じ解が得られた。


合ってるのかな?